一、奔福德定律的内涵
（一）奔福德定律经典理论 奔福德定律是由美国数学家、天文学家赛蒙·纽卡姆（Simon Newcomb）在1881年首次发现的。经过对大量随机数据的统计分析，他发现这些数据都很好地符合这样的规律：以1为第一位数的随机数要比以2为第一位数的随机数出现的概率要大，而以2为第一位数的随机数要比以3为第一位数的随机数出现的概率要大，依此类推。
大约50年之后，美国通用电器的物理学家弗瑞克·奔福德（Frank Benford）又独立发现了这一现象并得出了和Newcomb一样的结论。他收集了很多数据进行分析来验证自己的假说，这些数据包含了尽可能多的种类和范围，数据的收集和整理花费了他7年的时间。他验证了总数为20229个的20组数字，其中包括篮球比赛的数字、河流的长度、湖泊的面积、各城市人口分布数字、在某一杂志里出现的所有数字等。弗瑞克·奔福德推导了奔福德定律的数学表达式，即数字的第一位上各个非0数字出现的概率，用公式1表达如下：
（1）
其中：D＝1,2,3……9；P＝probability 代表概率。
根据公式（1），数字第一位上出现“1”的概率大约为30%，而出现“9”的概率仅为4.6%。把1,2,3……9分别代入式（1），所得结果如表1所示：
表1 数字第一位上1～9出现概率
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1 |
0.301030 |
6 |
0.066947 |
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2 |
0.176091 |
7 |
0.057992 |
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3 |
0.124939 |
8 |
0.051153 |
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4 |
0.096910 |
9 |
0.045758 |
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5 |
0.079181 |
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将这一分布规律用图表示则更加清晰，如图1所示。
图1 奔福德定律概率分布
1996年美国学者Hill从理论上对奔福德定律给出了满意的解释，并进行了严谨的数学证明（因其证明过程比较复杂，也不是本文探讨的重点，故不赘述）。
（二）奔福德定律的扩展 后人又对奔福德定律做了大量的扩展研究，这些扩展主要包括：
（1）其他位置上数字的分布规律。Hill指出，数字第二位上出现1～9的概率从“0”依次到“9”也是降序排列的，但其依次下降的幅度远远小于第一位数字。进而又有人继续深入研究，从第二位拓展到第三位、第四位。Nigrini通过研究给出了从0～9每个数在数字的第一位至第四位上出现的概率的数表，通过该数表可以查出数字0～9在随机数第一位至第四位上出现的概率。
（2）数字分布的条件概率。有人研究了将第一位和第二位上出现的数字联系起来考虑的情况，即条件概率，因为人们发现，各个位置上数字出现的概率不是相互独立的。
（3）度量单位变化的情况。数学家Pinkham的研究证明了奔福德定律不受度量单位的影响。他指出如果某一系列数字很好地吻合了奔福德定律，并且这些数字符合持续增长的规律，那么无论它们使用什么度量单位，都依然遵循奔福德定律。这一发现很好地解释了为什么不同国家、不同货币的财务数据都遵循奔福德定律。另外一个有趣的现象是，一组符合奔福德定律分布的数字，它们的倒数依然符合奔福德定律分布。
（4）数字进制变化的情况。人们还发现奔福德定律在数字的进制改变的情况下依然有效。比如从人们最常用的10进制改为12进制、6进制、5进制……2进制，数字的首位数上依然是“1”出现的频率最高，当然，进制不同时，所对应的各个数字在首位数出现的概率也有所变化。
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